Question

已知函数f(x)=1/2(x-1)^2+lnx-ax+a.(1)若a=3/2,求函数f(x)的极值 （2）若对任意的x∈(1,3),都有f(x)>0成立

(2)a的取值范围

Answer 1

(1)
f'(x)=(x-1)+1/x-a
令f'(x)=0
x-1+1/x-3/2=0
2x^2-2x+2-3x=0
2x^2-5x+2=0
x1=-1/2 x2=2
ln(-1/2)没有意义
所以f(2)为极大或者极小
f(2)=ln2-1 ln2<lne=1
所以f(2)<0
带入f(1)=-3/2+3/2=0
所以f(2)为极小
(2)
f'(x)=(x-1)+1/x-a
令f'(x)=0
x^2-(1+a)x+1=0
x1=[1+a-√(a^2+2a-3)]/2
x2=[1+a+√(a^2+2a-3)]/2
当a在[x1,x2]函数为减函数
f(min)=f(3)
且不等于f(3)
所以1+a-√(a^2+2a-3)<2a<1+a+√(a^2+2a-3)
解得
a不等于1
f(3)>=0
2+ln3-2a>=0
解得a<=1+(ln3)/2
所以a<=1+(ln3)/2且不等于1
当a<x1或者a>x2时函数为增函数
即1-a>√(a^2+2a-3)
解得a不等于1
所以此时f(min)=f(1)且不等于f(1)
f(min)=0满足条件
所以a的取值为(-无穷,1)并(1,+无穷)
或者a的取值为(-无穷,1)并(1,1+(ln3)/2)
即a的取值不可能同时使f(x)为增函数和减函数
也证明了数的选择产生了两个事件。即平行事件。

Answer 2

楼上答案第一问X1的值是正的1/2不是负的