Question

高等数学求极限这道题为什么能用等价无穷小代换？趋于无穷了

例题9

Answer 1

以此题中的等价无穷小为例
等价无穷小是指当x→a时，f(x)→0的话
e^f(x)-1~f(x)
只要e的次幂趋近于0即可，和x趋近于什么无关。
题目中
e的次幂是(lnx)/x
当x→∞时，为∞/∞型
利用洛必达法则可知当x→∞时 lim (lnx)/x=lim 1/x=0
满足等价无穷小的条件

Answer 2

x->∞
(1/x)lnx ->0

e^[(1/x)lnx] ~ 1+(1/x)lnx
e^[(1/x)lnx] -1 ~ (1/x)lnx
lim(x->∞) x . [ x^(1/x) -1] / lnx

=lim(x->∞) x . { e^[(1/x)lnx] -1 } / lnx
=lim(x->∞) x . {(1/x)lnx } / lnx
=1

Answer 3

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