Question

急！！！求证n(n+1)/2<根号1*2+根号2*3+...+根号n(n+1)<(n+1)²/2

Answer 1

方法1.用数学归纳法：
（1）当n=1时，显然(2)假设k=n时，
n(n+1)/2<根号1*2+根号2*3+...+根号n(n+1)<(n+1)²/2
（2）假设当n=k时，该不等式仍成立，即
k(k+1)/2<根号1*2+根号2*3+...+根号k(k+1)<(k+1)²/2
则n=k+1时，
(k+1)(k+2)/2=k(k+1)/2+（k+1）
<根号1*2+根号2*3+...+根号k(k+1)+（k+1）
<根号1*2+根号2*3+...+根号k(k+1)+根号(k+1)(k+2)
(k+2)²/2=(k+1)²/2+(k+1)+1/2=(k+1)²/2+(k+3/2)
>根号1*2+根号2*3+...+根号k(k+1)+(k+3/2)
=根号1*2+根号2*3+...+根号k(k+1)+根号(k²+3k+9/4)
>根号1*2+根号2*3+...+根号k(k+1)+根号(k²+3k+2)
=根号1*2+根号2*3+...+根号k(k+1)+根号(k+1)(k+2)
故题述不等式对n=k+1仍成立。
综合（1）（2）知，
n(n+1)/2<根号1*2+根号2*3+...+根号n(n+1)<(n+1)²/2
对n∈N成立。
方法2.放缩法
根号n(n+1)>根号n²=n,根号n(n+1)<根号[n(n+1)+1/4]=n+1/2.
所以
根号1*2+根号2*3+...+根号n(n+1)>1+2+...+n=n(n+1)/2
根号1*2+根号2*3+...+根号n(n+1)<(1+1/2)+(2+1/2)+...+(n+1/2)=(1+2+...+n)+n/2=n(n+1)/2+n/2=(n+1)²/2
所以n(n+1)/2<根号1*2+根号2*3+...+根号n(n+1)<(n+1)²/2.