二阶常系数线性微分方程y"+y=0的通解
二阶常系数线性微分方程y"+y=0的通解为-xex+x+2。
因为常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex，故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为（r-1）2=r2-2r+1，对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，设其特解为 y*=Ax+B，代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x。
整理可得（A-1）x+（B-2A）=0，所以 A=1，B=2。所以特解为 y*=x+2，将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2。故答案为-xex+x+2。
微分方程求解注意：
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。
在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。
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故答案为-xex+x+2。
因为常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：
y=（C1+C2 x）ex，
故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）2=r2-2r+1，
故 a=-2，b=1。
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2。
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C1=0，C2=-1。
故所求特解为 y=-xex+x+2。
故答案为-xex+x+2。
扩展资料：
二阶常系数齐次线性微分方程
一、标准形式
y″+py′+qy=0
二、特征方程
r^2+pr+q=0
三、通解
1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
