Question

二阶常系数线性微分方程y"+y=0的通解

Answer 1

二阶常系数线性微分方程y"+y=0的通解为-xex+x+2。

因为常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex，故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为（r-1）2=r2-2r+1，对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，设其特解为 y*=Ax+B，代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x。

整理可得（A-1）x+（B-2A）=0，所以 A=1，B=2。所以特解为 y*=x+2，将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2。故答案为-xex+x+2。

微分方程求解注意：

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。

在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

Answer 2

故答案为-xex+x+2。

因为常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：

y=（C1+C2 x）ex，

故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 

（r-1）2=r2-2r+1，

故 a=-2，b=1。

对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，

设其特解为 y*=Ax+B，

代入y″-2y′+y=x 可得，

0-2A+（Ax+B）=x，

整理可得

（A-1）x+（B-2A）=0，

所以 A=1，B=2。

所以特解为 y*=x+2，

通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2．

将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，

C1=0，C2=-1。

故所求特解为 y=-xex+x+2。

故答案为-xex+x+2。

扩展资料：

二阶常系数齐次线性微分方程

一、标准形式

y″+py′+qy=0

二、特征方程

r^2+pr+q=0

三、通解

1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

Answer 3

得出根为：1+2i和1-2i k^2+pk+q=0，根据p=-(a+b)=-2，q=1+4=5