何为角动量守恒
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角动量守恒条件是合外力矩等于零。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一,反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2,即L=常矢量。
对一固定点o,质点所受的合外力矩为零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点角动量守恒定律。
角动量守恒的具体应用:
用角动量守恒推算开普勒第二定律
开普勒第二定律:在相等时间内,太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。
行星在太阳的向心引力作用下绕日运动,所以行星受到的引力对太阳的力矩为零,那么角动量就华丽丽的守恒了,故有L=rpsinα=常数。
由上述推导可之掠面速度A/t为常数,所以相同时间行星绕太阳扫过的面积相等。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一,反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2,即L=常矢量。
对一固定点o,质点所受的合外力矩为零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点角动量守恒定律。
角动量守恒的具体应用:
用角动量守恒推算开普勒第二定律
开普勒第二定律:在相等时间内,太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。
行星在太阳的向心引力作用下绕日运动,所以行星受到的引力对太阳的力矩为零,那么角动量就华丽丽的守恒了,故有L=rpsinα=常数。
由上述推导可之掠面速度A/t为常数,所以相同时间行星绕太阳扫过的面积相等。
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设有一个质量为
的质点位于直角坐标系中点A,该点相对原点
的位矢为
,并具有速度
(即动量为
)。我们定义,质点
对原点
的角动量为
(4-13)
质点的角动量
是一个矢量,它的方向垂直于
和
的平面,并遵守右手法则:右手拇指伸直,当四指由
经小于180o的角
转向
(或
)时,拇指的指向就是
的方向。至于质点角动量
的值,由矢量的矢积法则知
(4-14)
式中
为
与
(或
)之间的夹角。
应当指出,质点的角动量与位矢
和动量
有关的,也就是与参考点
的选择在关。因此在讲述质点的角动量时,必须指明是对哪一点的角动量。
若质点在半径为
的圆周上运动,在某一时刻,质点位于点A,速度为
。如以圆心
为参考点(下图),那么
与
(或
)总是相互垂直的。于是质点对圆心
的角动量
的大小为
(4-15a)
因为
,上式亦可写成
(4-15b)
至于
的方向应平行于过圆心且垂直于运动平面的
轴,与
的方向相同。
质点的角动量定理
设质量为
的质点,在合力
作用下,其运动方程为
由于质点对参考点
的位矢为
,故以
叉乘上式两边,有
(4-16)
考虑到
而且
故式(4-16)可写成
式中
称为合力
对参考点
的合力矩。于是上式为
(4-17)
上式表明,作用于质点的合力对参考点
的力矩,等于质点对该点
的角动量随时间的变化率。这与牛顿第二定律
形式上是相似的,只是用
代替了
,用
代替了
。
上式还可写成
为力矩
与作用时间
的乘积,叫做冲量矩。上式取积分有
(4-18)
式中
和
分别为质点在时刻
和
对参考点
的角动量,
为质点在时间间隔
-
内对参考点
所受的冲量矩。因此,上式的物理意义是:对同一参考点
,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。这就是质点的角动量定理。
3
质点的角动量守恒定律
由式(4-18)可以看出,若质点所受合力矩为零,即
,则有
恒矢量
(4-19)
上式表明,当质点所受对参考点
的合力矩为零时,质点对该参考点
的角动量为一恒矢量。这就是质点的角动量守恒定律。
应当注意,质点的角动量守恒的条件是合力矩
。这可能有两种情况:一种是合力
;另一种是合力
虽不为零,但合力
通过参考点
,致使合力矩为零。质点作匀速率圆周运动就是这种例子。质点作匀速率圆周运动时,作用于质点的合力是指向圆心的所谓有心力,故其力矩为零,所以质点作匀速率圆周运动时,它对圆心的角动量是守恒的。不仅如此,只要作用于质点的力是有心力,有心力对力心的力矩总是零,所以,在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆,太阳位于两焦点之一,太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力,因此如以太阳为参考点
,则行星的角动量是守恒的。
在国际单位制中,角动量的单位为
。
的质点位于直角坐标系中点A,该点相对原点
的位矢为
,并具有速度
(即动量为
)。我们定义,质点
对原点
的角动量为
(4-13)
质点的角动量
是一个矢量,它的方向垂直于
和
的平面,并遵守右手法则:右手拇指伸直,当四指由
经小于180o的角
转向
(或
)时,拇指的指向就是
的方向。至于质点角动量
的值,由矢量的矢积法则知
(4-14)
式中
为
与
(或
)之间的夹角。
应当指出,质点的角动量与位矢
和动量
有关的,也就是与参考点
的选择在关。因此在讲述质点的角动量时,必须指明是对哪一点的角动量。
若质点在半径为
的圆周上运动,在某一时刻,质点位于点A,速度为
。如以圆心
为参考点(下图),那么
与
(或
)总是相互垂直的。于是质点对圆心
的角动量
的大小为
(4-15a)
因为
,上式亦可写成
(4-15b)
至于
的方向应平行于过圆心且垂直于运动平面的
轴,与
的方向相同。
质点的角动量定理
设质量为
的质点,在合力
作用下,其运动方程为
由于质点对参考点
的位矢为
,故以
叉乘上式两边,有
(4-16)
考虑到
而且
故式(4-16)可写成
式中
称为合力
对参考点
的合力矩。于是上式为
(4-17)
上式表明,作用于质点的合力对参考点
的力矩,等于质点对该点
的角动量随时间的变化率。这与牛顿第二定律
形式上是相似的,只是用
代替了
,用
代替了
。
上式还可写成
为力矩
与作用时间
的乘积,叫做冲量矩。上式取积分有
(4-18)
式中
和
分别为质点在时刻
和
对参考点
的角动量,
为质点在时间间隔
-
内对参考点
所受的冲量矩。因此,上式的物理意义是:对同一参考点
,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。这就是质点的角动量定理。
3
质点的角动量守恒定律
由式(4-18)可以看出,若质点所受合力矩为零,即
,则有
恒矢量
(4-19)
上式表明,当质点所受对参考点
的合力矩为零时,质点对该参考点
的角动量为一恒矢量。这就是质点的角动量守恒定律。
应当注意,质点的角动量守恒的条件是合力矩
。这可能有两种情况:一种是合力
;另一种是合力
虽不为零,但合力
通过参考点
,致使合力矩为零。质点作匀速率圆周运动就是这种例子。质点作匀速率圆周运动时,作用于质点的合力是指向圆心的所谓有心力,故其力矩为零,所以质点作匀速率圆周运动时,它对圆心的角动量是守恒的。不仅如此,只要作用于质点的力是有心力,有心力对力心的力矩总是零,所以,在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆,太阳位于两焦点之一,太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力,因此如以太阳为参考点
,则行星的角动量是守恒的。
在国际单位制中,角动量的单位为
。
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