Question

若a-b/a+b是不等于1的有理数，求证a/b是有理数

Answer 1

显然a不为0，1；b不为0
要证a/b是有理数，
即证
1.a,b都是无理数且a=kb（k是不为零的有理数）；
或2.a,b都是有理数
若是情况1，则a-b/a+b=（k-1/k+1)b是无理数或1，与题矛盾，
所以假设“a,b都是无理数且a=kb（k是不为零的有理数）”不成立；
下证a,b都是有理数：
（反证法）
若a,b均无理，且不成比例关系，则a-b/a+b是无理数，与题矛盾
若a有理，b无理，=a+(1-1/a)b，是无理数或1，与题矛盾
若a无理，b有理，则a-b/a+b=（a-b/a）+b是无理数，与题矛盾
综上，要满足“a-b/a+b是不等于1的有理数”，只可能是a,b均为有理数且a不为0或1，b不为0，即证得a/b是有理数。