Question

若X,Y为正实数，且X+Y=4，求√X²+1+√Y²+4的最小值？

Answer 1

解：∵x+y=4，
∴y=4-x①，
将①代入
x2+1
+
y2+4
得，
x2+1
+
(4−x)2+4
②，
由②得，
(x−0)2+(0−1)2
+
(x−4)2+(0−2)2
，
可理解为M（x，0）到A（0，1）和B（4，2）的距离的最小值．
作A关于轴的对称点A'（0，-1），连接A′B，与x轴交点即为M．
在Rt△A'DB中，A'B=
A′D2+BD2
=
32+42
=5．
故答案为：5．
如图：

Answer 2

√X²+1+√Y²+4=√X²+1+√(x-4)²+2²表示求X轴上一点P（X，0）到点A（0，1），点B（4，2）的距离和的最小值，点A、B都在X轴上方，相当于反射，点A关于X轴的对称点为A’（0，-1），
最小值为|A’B|=√（4-0）^2+(2+1)^2=5
√X²+1+√Y²+4的最小值=5