Question

可导点处极值必要条件为什么是f'(x)＝0

Answer 1

在x0点处可导的情况下
如果f'（x0）＞0，根据局部保号性可知，在x0的某个邻域内，恒有f'（x）＞0成立，那么在这个邻域内，f（x）单调递增，x0不可能是极值点。
如果f'（x0）＜0，根据局部保号性可知，在x0的某个邻域内，恒有f'（x）＜0成立，那么在这个邻域内，f（x）单调递减，x0不可能是极值点。
所以只有f'（x0）=0，才有可能f'（x）在x0的左右符号不相同，f（x）在x0的左右单调性不相同，x0才有可能是极值点。
所以可导函数极值点处的一阶导数必然是0

Answer 2

假设可导函数f（x）在x0点处取得极值，则在u（x0），有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0））
因此，由费马引理知f′（x0）=0；
但若f′（x0）=0，f（x）在x0点却不一定取得极值，如：
f（x）=3x3，显然有f′（0）=0，但x=0却不是f（x）的极值点
故：f′（x0）=0是可导函数f（x）在x0点处取得极值的必要条件．