Question

设a,b为正常数,则函数f(x)=a^/x+b^/(1-x) (0﹤x﹤1)的最小值为?

设a,b为正常数,则函数f(x)=a^/x+b^/(1-x) (0﹤x﹤1)的最小值为?

Answer 1

a,b为正常数,原来式子里面有a²,b²
所以,结果肯定和a,b有关
最小值为(a+b)²
f(x)=a^/x+b^/(1-x)≥(a+b)²
是个常识,下面证明
f(x)-(a+b)²
(a²/x+b²/(1-x))-(a+b)²
=[a²(1-x)+b²x]/x(1-x)-(a+b)²
=[a²-(a²-b²)x-(a²+2ab+b²)(x-x²)]/x(1-x)
=[a²-a²x+b²x-a²x+a²x²-2abx+2abx²-b^2x+b²x²]/x(1-x)
=[(a²-2ax²+a²x²)+b²x²-2abx+2abx²]/x(1-x)
=[a²(1-x)²+b²x²-2abx(1-x)]/x(1-x)
=[a(1-x)-bx]²/x(1-x)
因为：0<x<1，所以：1-x>0,x(1-x)>0
分子分母都大于0
===>[a(1-x)-bx]²/x(1-x)≥0
即：[a^2/x+b^2/（1-x）]≥(a+b)^2