Question

设f"(x)在[0,2]上连续,且f(2)=-1,f'(2)=0,∫(0，2)f(x)dx=4，求∫(0，1)x2f"(2x)dx

Answer 1

答案是3/2，详情如图所示

Answer 2

证明：记
F(x)=2x-∫[0,x]
f(t)
dt
-1=∫[0,x](2-f(t))dt-1
,
由于
f(x)0
,所以,F(x)
在
[0,1]
上为增函数,
由于
F(0)=
-1∫[0,1](2-1)dt-1=1-1=0
,
因此
F(x)
在（0,1）内有惟一实根,
即
2x-∫[0,x]
f(t)dt=1
在（0,1）内有惟一实根.
被积函数为正数，因此当积分区间的上限增加时，积分值也增加（积分就是面积嘛）。
常数的积分等于常数乘以积分区间的长度，即
∫[a，b]
C
dx=C(b-a)
，
把
a
换成
0
，b
换成
x
，C
换成
2
，就得
∫[0，x]
2
dt=2x
。