Question

高中数学向量公式有哪些

Answer 1

设a=（x，y），b=(x'，y')。
　　
1、向量的加法
　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
　　ab+bc=ac。
　　a+b=(x+x'，y+y')。
　　a+0=0+a=a。
　　向量加法的运算律：
　　交换律：a+b=b+a；
　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
　　
2、向量的减法
　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.
0的反向量为0
　　ab-ac=cb.
即“共同起点，指向被减”
　　a=(x,y)
b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y').
　　
4、数乘向量
　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
　　当λ＞0时，λa与a同方向；
　　当λ＜0时，λa与a反方向；
　　当λ=0时，λa=0，方向任意。
　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
　　数乘向量的消去律：①
如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②
如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
　　
3、向量的的数量积
　　定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
　　向量的数量积的运算率
　　a·b=b·a（交换率）；
　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
　　向量的数量积的性质
　　a·a=|a|的平方。
　　a⊥b
〈=〉a·b=0。
　　|a·b|≤|a|·|b|。
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由
a·b=a·c
(a≠0)，推不出
b=c。
　　3、|a·b|≠|a|·|b|
　　4、由
|a|=|b|
，推不出
a=b或a=-b。
　　
4、向量的向量积
　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
　　向量的向量积性质：
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
　　a×a=0。
　　a∥b〈=〉a×b=0。
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a；
　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
　　（a+b）×c=a×c+b×c.
　　注：向量没有除法，“向量ab/向量cd”是没有意义的。