Question

在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a-c/b-c=sinB/sinA+sinC，求角A大小及角B的取值范围。

Answer 1

由正弦定理，a*sinC=c*sinA
sinC=(c/a)*sinA
sinB=(b/a)sinA
(a-c)/(b-c)=sinB/(sinA+sinC)
则(a-c)*(sinA+sinC)=(b-c)sinB
展开得，asinA+asinC-csinA-csinC=(b-c)sinB
由于asinC=csinA
于是上式可化为
asinA-csinC=(b-c)sinB
再用最上面的等式代替sinC
和sinB得，
asinA-c*(c/a)sinA=(b-c)*(b/a)sinA
两边同乘以a/sinA得，a^2-c^2=(b-c)*b
[^2指平方]
即a^2-c^2=b^2-bc
移项得，b^2+c^2-a^2=bc
由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=bc/2bc=1/2
于是A=60`
由于是锐角三角形，则B最小得大于30`(否则C就大于或等于90度了)，最大得小于90`
所以B的范围是大于30度而小于90度