Question

设ξ1 ξ2 ξ3 是AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示

Answer 1

齐次线性方程组的基础解系是线性无关的向量组，首先ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3它们都是方程的解由k1ξ1+k2（ξ1+ξ2）+k3（ξ1+ξ2+ξ3）=0，得（k1+k2+k3）ξ1+（k2+k3）ξ2+ξ3k3=0。

因为ξ1，ξ2，ξ3是ax=0的基础解系，所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

所以：k1=k2=k3=0，则ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3线性无关，同样，它们也都是方程的解，但它们不是线性无关的：（ξ1-ξ2）+（ξ2-ξ3）=-（ξ3-ξ1）。

证明：

（1）这组向量是该方程组的解。

（2）这组向量必须是线性无关组，即基础解系各向量线性无关。

（3）方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。

Answer 2

a，b：
齐次线性方程组的基础解系是线性无关的向量组，所以选项a，b都是错误的说法．
c：
首先ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3它们都是方程的解
由
k1ξ1+k2（ξ1+ξ2）+k3（ξ1+ξ2+ξ3）=0，得（k1+k2+k3）ξ1+（k2+k3）ξ2+ξ3k3=0．
因为ξ1，ξ2，ξ3是ax=0的基础解系，所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
于是
k1+k2+k3＝0
k2+k3＝0
k3＝0
，
所以：k1=k2=k3=0，则ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3线性无关．
它也可以是方程组的基础解系．（c）正确．
d：
同样，它们也都是方程的解，但它们不是线性无关的：（ξ1-ξ2）+（ξ2-ξ3）=-（ξ3-ξ1）
所以它们不能构成基础解系，d错误
故应选：c．