Question

高数，如何证明数列x(n+1)=2+1/xn存在极限？

如题

Answer 1

令f(x)=2+1/x,
显然f(x)单调减少。
X1=2=20/10
X2=2+1/2=5/2=25/10
X3=2+1/5/2=2+2/5=24/10
……
递推下去有
X1<X3<X5<……<X2n-1<……<X2n<……<X4<X2
即奇数列增加，偶数列减少。奇数列的上限为X2=5/2，偶数列的下限X1=2，两者都收敛。
下边可以分别令奇偶列的极限为P、Q，limX2n-1=P,limX2n=Q。（n->∞）
令G(X)=f(f(Xn))，G(Xn)必定单调增加，则Xn+2=f(Xn+1)=f(f(Xn))=G(Xn)，由G(Xn)
的连续性可以知道
limXn+2=limG(Xn)=G(limXn)，在n分别为奇数或偶数时，
P=G(P)=f(f(P))=(5P+2)/(2P+1)，Q=G(Q)=f(f(Q))=(5Q+2)/(2Q+1)，
据方程x=(5x+2)/(2x+1)，即x^2-2x-1=0只有正解，x=1+√2=2.414。所以P=Q=2.414，也就是奇数列和偶数列的极限都是2.414，故此整个数列{Xn}收敛。收敛于2.414。
同样的我们可以得到这样两个关于极限的结论
1、当X3落在以X1、X2构成的区间之外时，数列{Xn}发散。
2、当X3落在以X1、X2构成的区间之内时，数列{X2n-1}和{X2n}均收敛，当两者收敛值相同时，数列{Xn}收敛。