已知函数f(x)=x3+1/2x2+M的图像不经过第二象限，求实数M的取值范围
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f(x)的图像不经过第二象限，即当x∈(-∞，0]时，恒有f(x)≤0
从而
m≤-x³-(1/2)x²+2x，x∈(-∞，0]
令
g(x)=-x³-(1/2)x²+2x，x∈(-∞，0]
则
m≤[g(x)]min，
x∈(-∞，0]
而g'(x)=-3x²-x+2=(-3x+2)(x+1)，令g'(x)≥0，得增区间为[-1，2/3]，即g(x)在[-1，0]上是增函数，同理，
在(-∞，-1]是减函数，最小值为g(-1)=1-1/2-2=-3/2
即
m≤-3/2
从而
m≤-x³-(1/2)x²+2x，x∈(-∞，0]
令
g(x)=-x³-(1/2)x²+2x，x∈(-∞，0]
则
m≤[g(x)]min，
x∈(-∞，0]
而g'(x)=-3x²-x+2=(-3x+2)(x+1)，令g'(x)≥0，得增区间为[-1，2/3]，即g(x)在[-1，0]上是增函数，同理，
在(-∞，-1]是减函数，最小值为g(-1)=1-1/2-2=-3/2
即
m≤-3/2
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