Question

大学数学线性代数总结

Answer 1

一.矩阵等价vs向量组等价
矩阵等价的充分必要条件是:同型且秩相等...经过初等变换之后的矩阵都是等价的...
向量组等价不可以推出矩阵等价...因为向量组的等价...列向量的个数可以不一样
也就是不满足同型.
向量组的等价:
两个向量组等价说明:这两个向量组可以互相线性表示...所以r(A)=r(B)
但是两个向量组可以有不同的线性相关性...
很明显:一个秩不为n的n维列向量组等价与它的最大无关组...
但是这两个向量组构成的矩阵不等价..原因是:不同型
这两个向量组的线性相关性也不一样....最大无关组...线性无关
n维列向量组...线性相关....
最后结论:!!!!两个等价不可以互推!!!!!
二.A vs
伴随矩阵
A*
(1)当
r(A)=n
时 r(A*)=n
(2)当
r(A)=n
-1时 r(A*)=1
(3)当
r(A)<=n-2
时 r(A*)=0
证明如下:
(1)AA*=|A|E
因为r(A)=n
,推出A可逆，所以n=r(|A|E)=r(AA*)=r(A*)
(2)r(A)=n-1,推出|A|=0,且存在n-1阶子式非0，所以A*≠0，r(A*)>=1
又|A|E=0=AA*
所以：r(A)+r(A*)<=n
所以：r(A*)=1
(3)当
r(A)<=n-2
时，A的n-1阶子式全部为0，所以A*=0
所以：r(A*)=0
PS：上面的结论可以互推
也就是说：逆命题成立．
三.特征值特征向量
(1)对于同一n阶矩阵A,不同特征值的特征向量线性无关．．
(2)当出现特征值为重根时，对应于重根特征值的特征向量，假设为X1，X2
线性组合：k1x1+k2x2(k1,k2不全为0)仍然是A的特征向量
(3)不同特征值的特征向量之和一定不是A的特征向量（可以用反证法）
(4)对于某一个特征值的特征向量有无数个．只是我们在构造矩阵P时，只是用一
个（通常是基础解系）
几何空间性质
补充向量间关系的几何意义
1。若向量a1,a2线性相关，则必有a1//a2
2。若向量a1,a2线性无关，则他们相交或异面
3。若向量a1,a2,a3线性相关则a1//a2//a3或他们共面
4。若向量a1,a2,a3线性无关，则a1,a2,a3不共面
ps:这个方面我数三的考纲不要求..所以只是加上baoyu.song兄弟的话...
代数余子式
(1)代数余子式是有符号的..用逆序数来确定代数余子式的+-号
(2)用代数余子式来求矩阵的伴随矩阵时,记得要把余子式的行变列,列变行
(3)矩阵一行或者(列)的代数余子式与另一行(列)对应的元素乘积为0
(4)某一个代数余子式不受这个代数余子式的对应元素的影响....也就是跟他的元素无关了..
例如:a11,与A11...即使改变a11的值,但是它的代数余子式不变...
合同矩阵VS相似矩阵
首先说明:这些矩阵都是在实对称矩阵的基础上才有以下结论
(1)当A~B
时,矩阵A,B有相同的特征值,根据正交变换可以矩阵A,B有相同的二次型
所以有相同的正负惯性系数....所以.两矩阵合同
结论:两实对称矩阵相似,可以推出两矩阵合同
(2)由实对称矩阵必可以对角化得到:存在正交矩阵P,使得P(T)AP=∧
根据合同矩阵的定义得:任一个实对称矩阵必合同于一个对角矩阵