Question

高中数列题

Answer 1

（1）d>0的等差数列，得a3<a6。由 a3a6=55，又a2+a7=a3+a6=16 则a3、a6可看作是二元一次方程 x²-16x+55=0 的两根。由(x-5)(x-11)=0 得 a3=5，a6=11 即 a1+2d=5 与 a1+5d=11 联立得 d=2，a1=1 得 an=a1+(n-1)d=1+2n-2=2n-1

（2）{bn}是等比数列，则 q=b2/b1=(a2-1)/a1=(2×2-1)/1=3，bn=b1q^(n-1)=3^(n-1)，cn=anbn=(2n-1)×3^(n-1)

Sn=1×3^0+3×3^1+5×3^2+...+(2n-1)×3^(n-1)

3Sn=1×3^1+3×3^2+5×3^3+...+(2n-3)×3^(n-1)+(2n-1)×3^n

前减后得 -2Sn=1×3^0+2×3^1+2×3^2+...+2×3^(n-1)-(2n-1)×3^n

=1+2[3^1+3^2+...+3^(n-1)]-(2n-1)×3^n

=1+2×3×[1-3^(n-1)]/(1-3)-(2n-1)×3^n

=1+3^n-3-3-2n×3^n+3^n=-2(1+n×3n-3^n)=-2[1+(n-1)3^n]

得 Sn=1+(n-1)3^n