Question

一道线代题，为什么A的伴随矩阵=A的转置，具体看题图

Answer 1

条件应该有a
≠
0吧.
n
=
2时,
设a
=
a
b
c
d
则伴随矩阵a*
=
d
-b
-c
a
由转置a‘
=
a*得a
=
d,
b
=
-c.
当讨论限制为实矩阵,
行列式|a|
=
a²+b²
>
0,
a可逆.
复矩阵时有反例:
1
i
-i
1
n
>
2时,
无论在哪个域上,
命题总是成立的,
证明如下.
若a的秩r(a)
<
n-1,
伴随矩阵a*是由a的n-1阶子式构造,
有a*
=
0,
与a
≠
0从而转置矩阵a'
≠
0矛盾.
若r(a)
=
n-1,
由aa*
=
|a|·e
=
0,
及不等式r(a)+r(a*)-n
≤
r(aa*),
有r(a*)
≤
1
<
r(a)
=
r(a').
于是r(a)
<
n时总有a*
≠
a'.
即由a*
=
a'可推出a可逆.