已知正数a，b满足a+b=1，求ab的取值范围和ab+1/ab的 最小值
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解：（1）
∵a+b=1
∴a=1-b
∴ab=（1-b）*b=-b2+b=-(b-1/2)2+1/4
∴当b=1/2时，ab取最大值1/4
∵0<b<1
∴ab的取值范围是(0，1/4]
(2)
令f（ab）=ab+1/ab，ab=x
则f（ab）=f（x）=x+1/x
由（1）得：ab的取值范围是(0，1/4]
∴x的取值范围是(0，1/4]
证明f（x）的增减性
设x1，x2属于（0，1/4]，且x1<x2
令g（x）=f（x1）-f（x2）=x1+1/x1-x2-1/x2=（x1-x2）+（1/x1-1/x2）
整理得g（x）=（x1-x2）*（1-1/（x1*x2））
因为x1-x2<0
又因为0<x1*x2<=1/16
所以1/（x1*x2）的最小值为16
所以1-1/（x1*x2)<0
则g（x）>0
所以f（x1）-f（x2）>0
即f（x1）>f(x2)
即f（x）为递减函数
即f(x)在1/4处取得最小值
∴最小值为17/4
希望能帮到你。
如果满意谢谢采纳O(∩_∩)O哈！
∵a+b=1
∴a=1-b
∴ab=（1-b）*b=-b2+b=-(b-1/2)2+1/4
∴当b=1/2时，ab取最大值1/4
∵0<b<1
∴ab的取值范围是(0，1/4]
(2)
令f（ab）=ab+1/ab，ab=x
则f（ab）=f（x）=x+1/x
由（1）得：ab的取值范围是(0，1/4]
∴x的取值范围是(0，1/4]
证明f（x）的增减性
设x1，x2属于（0，1/4]，且x1<x2
令g（x）=f（x1）-f（x2）=x1+1/x1-x2-1/x2=（x1-x2）+（1/x1-1/x2）
整理得g（x）=（x1-x2）*（1-1/（x1*x2））
因为x1-x2<0
又因为0<x1*x2<=1/16
所以1/（x1*x2）的最小值为16
所以1-1/（x1*x2)<0
则g（x）>0
所以f（x1）-f（x2）>0
即f（x1）>f(x2)
即f（x）为递减函数
即f(x)在1/4处取得最小值
∴最小值为17/4
希望能帮到你。
如果满意谢谢采纳O(∩_∩)O哈！
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