Question

设A为3阶矩阵，且A的逆矩阵为（1 1 1 ，1 2 1,1 1 3），试求伴随矩阵的逆矩阵

Answer 1

平面上两点x,y的距离记为D(x,y).
由d
=
sup{D(x,y)
|
x,y∈E},存在E中点列{x[n]}与{y[n]},使d-1/n
<
D(x[n],y[n])
≤
d.
E是有界闭集,故点列{x[n]}存在收敛子列{x[n[k]]},收敛于某点a∈E.
设z[k]
=
x[n[k]],w[k]
=
y[n[k]].
则由n[k]
≥
k,d-1/k
≤
d-1/n[k]
<
D(x[n[k]],y[n[k]])
=
D(z[k],w[k])
≤
d.
再由E是有界闭集,点列{w[k]}存在收敛子列{w[k[i]]},收敛于某点b∈E.
设u[i]
=
z[k[i]],v[i]
=
w[k[i]].
则由k[i]
≥
i,d-1/i
≤
d-1/k[i]
<
D(z[k[i]],w[k[i]])
=
D(u[i],v[i])
≤
d.
在上式中令i
→
∞,有D(u[i],v[i])
→
d.
由u[i]是z[k]的子列,z[k]收敛到a,有D(u[i],a)
→
0.
又v[i]收敛到b,有D(v[i],b)
→
0.
而由三角不等式,D(a,b)
≥
D(u[i],v[i])-D(u[i],a)-D(v[i],b).
令i
→
∞即得D(a,b)
≥
d.
但a,b∈E,由d
=
sup{D(x,y)
|
x,y∈E},得D(a,b)
≤
d.
故D(a,b)
=
d,a,b即为满足要求的点.

Answer 2

性质:
若A可逆,
则
(A^-1)*
=
(A*)^-1
所以只需求
[1
1
1
;1
2
1;1
1
3]
的伴随矩阵
直接计算即可
(A*)^-1
=
5
-2
-1
-2
2
0
-1
0
1