Question

求∑(3^n+5^n)x^n/n的收敛域

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

an=(3^n+5^n)/n，n次根号(an)=5*【(1+(3/5)^n)^(1/n)】/n^(1/n)，极限是5，因此收敛半径是1/5。
在x＝1/5时，级数通项为【(3/5)^n+1】/n>1/n，因此级数不收敛。
在x＝－1/5时，级数通项为【(3/5)^n+1】(－1)^n/n＝(－3/5)^n/n+(－1)^n/n，第一个绝对收敛，第二个用Leibniz判别法知道收敛，因此级数收敛。
故收敛域为[－1/5，1/5)

Answer 3

设un=5^n*x^n
un+1=5^(n+1)
*
x^(n+1)
比值法
lim
n→∞
|un+1/un|
=lim
n→∞
|5^(n+1)
*
x^(n+1)/5^n*x^n|
=5|x|＜1
收敛区间为(-1/5，1/5)
当x=-1/5时，un=(-1)^n，发散
当x=1/5时，un=1，发散
所以收敛域为(-1/5，1/5)