Question

数学有关圆的题。

如图,圆O1与圆O2相交于点A,B,经过点A的直线与圆O1相交于点C,与圆O2相交于点D，如果直线CD绕点A旋转，当CD旋转到什么位置时，直线被两圆截的线段最长。

Answer 1

圆O的半径为R，弦AB垂直于CD于M，
求证:AM^2+BM^2+CM^2+DM^2=4R^2

证明 连OM,OA,OB,OC,OD.过O点作OE⊥AB,OF⊥CD，分别交AB,CD于E,F。则E,F分别AB,CD的中点。
那么易证:2ME=AM-BM，2MF=CM-DM，OE=FM,OF=EM。
令∠OMA=x,∠OMC=y，则x+y=90°.
由余弦定理得:
AM^2+MO^2-2MO*AM*cosx=OA^2=R^2 (1)
BM^2+MO^2+2MO*BM*cosx=OB^2=R^2 (2)
CM^2+MO^2-2MO*CM*cosx=OC^2=R^2 (3)
DM^2+MO^2+2MO*DM*cosx=OD^2=R^2 (4)
(1)+(2)+(3)+(4)得:
AM^2+BM^2+CM^2+DM^2-4R^2+4MO^2-2MO{(AM-BM)cosx+(CM-DM)cosy}=0,
即AM^2+BM^2+CM^2+DM^2-4R^2+4MO^2-2MO{2EM*cosx+2FM*cosy}=0,
注意到:EM=MO*cosx,FM=MO*cosy，故得:
AM^2+BM^2+CM^2+DM^2-4R^2+4MO^2-4(EM^2+FM^2)=0,
因为 EM^2+FM=MO^2。
因此 AM^2+BM^2+CM^2+DM^2=4R^2.证毕。

附证:因为弦AB垂直于弦CD于M，所以
AD^2=AM^2+DM^2;
DB^2=DM^2+BM^2;
BC^2=BM^2+CM^2;
CA^2=CM^2+AM^2.
上述四式相加得:
AD^2+DB^2+BC^2+CA^2=2(AM^2+BM^2+CM^2+DM^2) (5)
由正弦定理得:
AD=2R*sinx, x=∠ACD.
BC=2R*sinz, z=∠BAC.
DB=2R*siny, y=∠BCD.
CA=2R8sinw, w=∠ABC.
注意x+z=90°, y+w=90°
所以AD^2+BC^2+DB^2+CA^2
=4R^2*[(sinx)^2+(cosx)^2+(siny)^2+(cosy)^2]=8R^2
故得:
AD^2+BC^2+DB^2+CA^2=8R^2 (6)
因此 AM^2+BM^2+CM^2+DM^2=4R^2

证法（三）这里仅用到勾股定理和圆相交弦定理。
连AO且延长交圆O另一端于E，连BE。则EB⊥AB，故BE‖CD。
所以得：BE=｜DM-CM｜. (1)
由圆相交弦定理得:AM*BM=CM*DM. (2)
由勾股定理得:AE^2=AB^2+BE^2=(AM+BM)^2+(DM-CM)^2
=AM^2+BM^2+CM^2+DM^2+2AM*BM-2CM*DM
= AM^2+BM^2+CM^2+DM^2.
而AE=2R，故得: AM^2+BM^2+CM^2+DM^2=4R^2.