Question

关于梯度等于切平面的法向量的问题 求证明过程

Answer 1

首先有个前提“过一点的切平面是唯一的”这个不证明。
设曲面方程F（x,y,z)=0有连续连续偏导数，任取方程上一点M0（x0,y0,z0),
对于过M0的任意一条曲线l,设参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t),满足F(x(t),y(t),z(t))=0。
参数方程在M0点，设对应点为（x(t0),y(t0),z(t0)），
对F求导可得
Fx(M0)*x'(t0)+Fy*y'(t0)+Fz*z'(t0)=0
可以看出向量n=（Fx(M0),Fy(M0),Fz(M0)）与向量t=（x(t0),y(t0),z(t0)）垂直
因为t是曲线l过M0的切线，而切平面是唯一的，当曲线l任取时，t总在切平面上，故n为切平面的法向量。
对比梯度的定义（Fx,Fy,Fz）可知，在曲面上任意一点的梯度等于过该点切平面的法向量

Answer 2

这个说法有问题，如果你画出函数f(x,y,z)=0的曲线，那一般来说，那通过对f(x,y,z)求偏导得到梯度向量（x，y，z）是它的法向量。
泛泛地说法向量是不恰当的。
“比如说‘爬山’，梯度向量是山坡最陡峭的方向的向量”
这只是一个比喻，实际上，在现实当中，管最陡峭的方向的向量叫测地向量可能更恰当。
欢迎hi里交流。
对补充的回答：如果画出曲面f(x,y,z)=0，就像一个山坡，那么在某一点的梯度向量到底是垂直于曲面的法向量。
山坡这个比喻实际上是这样：它把x,y看成自变量，z看作函数值。所以你提的实际上是两个问题，而且我觉得你有点搞混了。
最后明确一下：f(x,y,z)=0里面的曲面，相当于“爬山”这个问题里面的等高线。
还有疑问的话，继续讨论。