Question

已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（...

已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）． （1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式； （2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．记cn=a6n-1（n≥1），求证：数列{cn}为常数列； （3）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．若数列{ann}中必有某数重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，有
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=a1+b1+b2+…+bn-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×(n-1)n2=n2-n，又当n=1时此式也成立．
∴数列{an}的通项为an=n2-n．
（2）∵bn+1+bn-1=bn（n≥2），
∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn，
∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列
又∵b1=1，b2=2，
∴b3=b2-b1=1，b4=b3-b2=-1，b5=b4-b3=-2，b6=b5-b4=-1．
∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1
=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{cn}为常数列．
（3）∵bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2，
∴b3=2，b4=1，b5=12，b6=12，
且对任意的n∈N*，有bn+6=bn+5bn+4=1bn+3=bn+1bn+2=bn，
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5
=b1+b2+b3+b4+b5+b6
=1+2+2+1+12+12=7（n≥0）．
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．
记fn=ann，则fk=a6k+i6k+i=ai+7i+6k=76(i+6k)+ai-7i6i+6k=76+ai-7i6i+6k，
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=7i6时，对任意的n=6k+i有ain=76；
当ai≠7i6时，fk+1-fk=ai-7i66(k+1)+i-ai-7i66k+i
=(ai-7i6)(16(k+1)+i-16k+i)
=(ai-7i6)-6[6(k+1)+i](6k+i)，
①若ai＞7i6，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，数列{a6k+i6k+i}为单调减数列；
②若ai＜7i6，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，数列{a6k+i6k+i}为单调增数列；
综上，当ai=7i6且i∈{1，2，3，4，5，6}时，数列{ann}中必有某数重复出现无数次
当i=1时，a1=76符合要求；当i=2时，a2=7×26=73符合要求，
此时的a1=a2-b1=43；
当i=3时，a3=7×36=72符合要求，
此时的a2=a3-b2=32，a1=a2-b1=12；
当i=4时，a4=7×46=143符合要求，
此时的a1=a4-b3-b2-b1=-13；
当i=5时，a5=7×56=356符合要求，
此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-16；
当i=6时，a6=7×66=7符合要求，
此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=12；
即当a1∈{76，43，12，-13，-16}时，
数列{ann}中必有某数重复出现无数次．