Question

在数列{an}中，a1=2，nan+1=（n+1）an，则{an}通项公式an

Answer 1

（1）∵a1=2，nan+1=2（n+1）an，
∴
an+1
n+1
an
n
＝2，
所以{
an
n
}是以
a1
1
＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴
an
n
＝2×2n?1＝2n，an＝n×2n
所以数列{an}的通项公式是an＝n?2n；
（2）sn＝1×2+2×22+3×23+…+n?2n，
可得2sn＝1×22+2×23+3×24+…+n?2n+1，
用错位相减法，数列{an}的前n项的和sn＝(n?1)×2n+1+2；
（3）对于一切非零自然数n都有nan≥λ（sn-2）恒成立，
把an＝n?2n，sn＝(n?1)×2n+1+2代入nan≥λ（sn-2）得到：n2≥2λ（n-1）对于一切非零自然数n成立．
当n=1时，λ为任意实数，
当n≥2时，等价于
n2
n?1
≥2λ对于一切非零自然数n成立．
等价于函数y＝
n2
n?1
(n≥2)的最小值≥2λ，
而∵n≥2，∴y＝
n2
n?1
＝
[(n?1)+1]2
n?1
＝(n?1)+
1
n?1
+2＝[
(n?1)
?
1
n?1
]2+4≥4．
当n=2时取等号，所以函数y＝
n2
n?1
(n≥2)的最小值4≥2λ，λ≤2，
综合得到，所以实数λ的取值范围为（-∞，2]．所以实数λ的最大值为2．

Answer 2

nan+1=（n+1）an两边同除以n（n+1），
得
a(n+1)/(n+1)=an/n
令bn=an/n
则b(n+1)=a(n+1)/(n+1)
∴b(n+1)-bn=0
b1=a1/1=2
所以数列{bn}是首项为2公差为0的等差数列
由等差数列公式
bn=2
你题目抄错了！
应该是
在数列{an}中，a1=2，na(n+1)-1=（n+1）an，则{an}通项公式an
解：两边同时除以n（n+1）
得：
a(n+1)/(n+1)-an/n=1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]
令bn=an/n
则b(n+1)-bn=(1/n)-[1/(n+1)]
n=1时
b2-b1=(1/1)-(1/2)
n=2时
b3-b2=(1/2)-(1/3)
n=3时
b4-b3=(1/3)-(1/4)
.。。。。。。。。。
n=n-1时
bn-b(n-1)=[1/(n-1)]-(1/n)
以上n-1个式子对应相加：
（叠加法）
bn-b1=1-(1/n)
又∵b1=2
∴bn=3-(1/n)
即：an/n=3-(1/n)
∴an=3n-1