Question

怎么求两点关于一次函数的对称点

Answer 1

怎么求一个点关于一次函数对称点的坐标
来个一般性的问题，求P（x0,y0）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点。（这是直线的一般方程，比一次函数范围更广）
解法有多种。
简单介绍两种。
法一：因为是对称点。设对称点为P’，有PP’垂直平分直线l。
先解决垂直，则设PP’所在直线为l'=Bx-Ay+C'（垂直的充要条件是斜率乘积为-1，这是它的推广形式。由向量得来）
因为P在l'上。带入，解出C，这l'唯一确定。
联立l和l'方程，得到一个二元一次方程，解出。则为两条直线的交点Q。
由中点公式x=x1+x2/2
y=y1+y2/2
因为垂直平分，所以Q必定为PP'中点。由中点公式可以解除P’坐标。此题完成。
法二：设直线l'=Bx-Ay+C'
因为P在l'上，所以带入
则C=Ay0-Bx0
所以l'=Bx-Ay+Ay0-Bx0
设p’（x1,y1）。
由于垂直平分，所以p到l的距离等于p’到l的距离。
点到直线的距离公式为|Ax0+By0+C|/√A²+B²
由于p’在直线上，代入。得到第二个方程。两个方程两个未知数，可以解出p’坐标。
如果有看不懂的，不用着急。你们高二才学。

Answer 2

两点关于一次函数对称，那么两点的坐标具有这样的性质
1.
两点的中点在一次函数的直线上，即中点（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）满足直线方程，
2.
过两点的直线与一次函数垂直，假设一次函数为y=kx+b，则直线的方向向量为（1，k），两对称点的方向向量为（x1-x2,y1-y2）,则有（x1-x2）+k(y1-y2)=0
举一个例子
求(1,0)关于y=x的对称点
解：设对称点为(x2,y2)
中点坐标为(（1+x2）/2,(0+y2)/2)，带入直线方程
有y2/2=(1+x2)/2→y2=1+x2……①
又（1-x2）+k(0-y2)=0，k=1
∴1-x2-y2=0……②
所以1-x2=1+x2→x2=0
带入①得y2=1
所以对称点为（0,1）

Answer 3

设对称轴是y=kx+b，点为a(x0,y0)，它的对称点是b(x1,y1)
因为a，b关于直线对称
所以a，b中点(
(x0+x1)/2,(y0+y1)/2
)在y上
所以(y0+y1)/2=k(x0+x1)/2+b（用公式的，可以用相似推导）
即y1-k
x1=k
x0+b-y0
因为ab和直线y=kx+b垂直
所以k
(y1-y0)/(x1-x0)=-1
（用公式的，可以用相似推导）
即k
y1+x1=x0+k
y0
连立出方程
y1-k
x1=k
x0+b-y0
k
y1+x1=x0+k
y0
解得
x1=-((b
k
-
x0
+
k^2
x0
-
2
k
y0)/(
1
+
k^2))
y1=-((-b
-
2
k
x0
+
y0
-
k^2
y0)/(1
+
k^2))