Question

已知二次函数f(x)=4x²+4(1-a)x+1-4a.

Answer 1

解：
（1）
f(x)的顶点横坐标为0.5a-0.5
当-0.5<0.5a-0.5时，要使f(x)>0，则f(0.5a-0.5)>0
即a>0时有-a²-2a>0解得-2<a<0，故此时无解
当-0.5≥0.5a-0.5，要使f(x)>0，则f(-0.5)≥0
即a≤0时有-2a≥0解得a≤0
故a的取值范围是a≤0
（2）由题意：f(x)在[0，2]上的值域包含g(x)在[0，2]上的值域
∵x∈[0，2]时g(x)∈[-4，2]
∴f(x)在[0，2]上的值域包含[-4，2]
在[0，2]上：
当0.5a-0.5<0时，即a<1时，f(x)∈[ f(0)，f(2)
]
即f(x)∈[1-4a，25-12a]
∴1-4a≤-4且2≤25-12a解得1.25≤a≤23/12，与前提的a<1矛盾，故此时无解
当0≤0.5a-0.5≤1时，即1≤a≤3时f(x)∈[
f(0.5a-0.5)，f(2)
]
∴-a²-2a≤-4且2≤25-12a解得a≤-1-√5或-1+√5≤a≤23/12与前提1≤a≤3取交集得-1+√5≤a≤23/12
当1≤0.5a-0.5≤2时，即3≤a≤5时f(x)∈[
f(0.5a-0.5)，f(0)
]
∴-a²-2a≤-4且2≤1-4a解得a≤-1-√5
与前提3≤a≤5矛盾，故此时无解
当0.5a-0.5>2时，即a>5时f(x)∈[
f(2)，f(0)
]
∴25-12a≤-4且2≤1-4a解得此时无解
综上所述，a的取值范围是-1+√5≤a≤23/12