椭球面的方程
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二次曲面方程不是推导出来的(除了几个旋转曲面外,见【附注】)
二次曲面实际上是先有方程,再研究其图形的。
根据二次方程
ax^2+by^2+cz^2+px+qy+rz+C=0
进行讨论,
对于一次项系数
p,若与它对应的二次项系数
a≠0,则可以通过平移消去
a。对于一次项系数q及r也一样。
二次项中一般还有交叉项xy,yz,zx项的,由于在线性代数中可以通过二次型的正交变换消去,所以在高等数学里一开始就没有讨论。
所以要讨论的标准型,除了柱面方程外,实际上只有
【一】ax^2+by^2+cz^2+C=0,
①C≠0,包括椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面;
②C=0,包括各类锥面;
【二】ax^2+by^2+rz+C=0,
包括椭圆抛物面,双曲抛物面(马鞍面是外号,不是学名)。
其形状是通过截面的截口痕迹(截痕法)来讨论。
【附注】①到两个定点距离之和为定值的空间点的轨迹是旋转椭球面;
②到两个定点距离之差为定值的空间点的轨迹是旋转双叶双曲面;
③到定点和给定平面距离相等的空间点的轨迹是旋转抛物面。
在给出数据后,利用距离公式是很容易推导的。
二次曲面实际上是先有方程,再研究其图形的。
根据二次方程
ax^2+by^2+cz^2+px+qy+rz+C=0
进行讨论,
对于一次项系数
p,若与它对应的二次项系数
a≠0,则可以通过平移消去
a。对于一次项系数q及r也一样。
二次项中一般还有交叉项xy,yz,zx项的,由于在线性代数中可以通过二次型的正交变换消去,所以在高等数学里一开始就没有讨论。
所以要讨论的标准型,除了柱面方程外,实际上只有
【一】ax^2+by^2+cz^2+C=0,
①C≠0,包括椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面;
②C=0,包括各类锥面;
【二】ax^2+by^2+rz+C=0,
包括椭圆抛物面,双曲抛物面(马鞍面是外号,不是学名)。
其形状是通过截面的截口痕迹(截痕法)来讨论。
【附注】①到两个定点距离之和为定值的空间点的轨迹是旋转椭球面;
②到两个定点距离之差为定值的空间点的轨迹是旋转双叶双曲面;
③到定点和给定平面距离相等的空间点的轨迹是旋转抛物面。
在给出数据后,利用距离公式是很容易推导的。
呈绅
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