Question

∫∫|1-x-y|dσ,其中D={(X，y)|0<=x<=1,0<=y<=1}

Answer 1

作线段x+y=1，将区域D分为两部分（自己画图）
左下部分记为D1，右上部分记为D2
在D1中x+y≤1，在D2中x+y≥1
因此
∫∫|1-x-y|dσ
=∫∫(D1)
|1-x-y|dσ
+
∫∫(D2)
|1-x-y|dσ
=∫∫(D1)
(1-x-y)dσ
+
∫∫(D2)
(x+y-1)dσ
=∫[0→1]
dx∫[0→1-x]
(1-x-y)dy
+
∫[0→1]
dx∫[1-x→1]
(x+y-1)dy
=∫[0→1]
(y-xy-(1/2)y²)
|[0→1-x]
dx
+
∫[0→1]
(xy+(1/2)y²-y)
|[1-x→1]
dx
=∫[0→1]
(1-x-x(1-x)-(1/2)(1-x)²)
dx
+
∫[0→1]
(x²+1/2-(1/2)*(1-x)²-x)
dx
=1/6+1/6
=1/3