Question

已知函数f(x*y)=f(x)*f(y) f(2)=1 X>1时f(x)>0 求证f(x)为偶函数

Answer 1

1.有f(x*y)=f(x)*f(y)，所以f(x)=f(x*y)/f(y)
f(-x)=f(-x*y)/f(y)
=f(-1*xy)/f(y)
=f(-1)*f(x*y)/f(y)
=f(-1)*f(x)*f(y))/f(y)
=f(-1)*f(x)
此时只需证明f(-1)=1即可
2.由题意f(x*y)=f(x)*f(y)可知
f(2)=f(2*1)=f(2)*f(1)=f(1)=1
即是f(1)=1
而f(1)=f(-1*-1)=f(-1)*f(-1)=1
所以得f（-1）的平方=1，
解得f(-1)=1或者-1
3.剩下的排除f(-1)=-1的情况即可