Question

已知数列｛an}满足a1=1/3,a2=7/9,an+2=4/3an+1-1/3an (1)求｛an}的通项公式 （2）求数列｛nan}的前n项和Sn

Answer 1

1
∵an+2=4/3an+1-1/3an
∴a(n+2)-a(n+1)=1/3[a(n+1)-an]
∴[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]
=1/3
则{a(n+1)-an}
为等比数列,公比为1/3
∴a(n+1)-an=(a2-a1)(1/3)^(n-1)=4/9
(1/3)^(n-1)
a(n+1)-an=4/9
(1/3)^(n-1)
n≥2时
a2-a1=4/9
a3-a2=4/9*1/3
a4-a3=4/9*(1/3)^2
...............................
an-an-1=4/9*(1/3)^(n-2)
an-a1=4/9+4/9*1/3+.............+4/9*(1/3)^(n-2)
=4/9[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)=2/3[1-1/3^(n-1)]
an=2/3[1-1/3^(n-1)]+1/3=1-2/3^n
当n=1时，上式也成立
所以，
an=1-2/3^n
2.
nan=n-2n/3^n
每项由两部分构成，可分别单独求和
令
Pn=2/3+4/3^2+6/3^3+......+2n/3^n
(1)
1/3Pn=2/3^2+4/3^3+......+2(n-1)/3^n+2n/3^(n+1)
(2)
(1)-(2):
2/3Pn=2/3+2/9+2/27+......+2/3^n-2n/3^(n+1)
=(2/3)[1-1/3^n]/(1-1/3)-2n/3^(n+1)
=1-1/3^n-2n/3^(n+1)=1-(2n+3)/3^(n+1)
Pn=3/2-(2n+3）/(2*3^n)
令Qn=1+2+3+.....+n=n(n+1)/2
数列(nan｝前n项和
Tn=Pn+Qn=n(n+1)/2+3/2-(2n+3）/(2*3^n)