Question

高中物理中向心加速度的公式该如何推导？

Answer 1

你好，我们来说说向心加速度的公式的几种推导方法：
方法一：（课本上的方法）利用加速度的定义推导（又称矢量合成法）：
　　如上图所示：设小球在很短的时间t内从A运动到B，在时间t内速度变化为△v，
　　因为△OAB∽△BDC（可自己证一下），所以有：△v/v=AB/R
　　当t→0时，AB=弧AB
　　所以：v=弧AB/t，a=△v/t
　　所以a=v²/R
　　补充：在矢量合成法中应用三角函数推导：
　　如上图所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为va=vb=v，则其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。由余弦定理可得：（由于公式难于表述，用图片替代）
　　可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由于vb方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，
方法二：利用运动的合成与分解推导（简称运动合成法）
　　由于惯性,
小球有离开圆心沿切线运动的趋势,
而细线的拉力却拉着小球向圆心运动。这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直线运动
　　设在很短的时间t内,
小球沿圆周从A到B，可分解为沿切线AC方向的匀速直线运动和沿AD方向初速度为零的匀加速直线运动。如图一：
　　
方法三：利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速度
　　设：质量为m的人造地球卫星以速率v在半径为r的近圆轨道上绕地球运行，
运行周期为T，地球质量为M.
　　根据开普勒第三定律：T²/r³=k（k为常量）
　　根据万有引力定律：F=GMm/r²
　　对于圆周运动的物体有：T=2πr/v
　　根据牛顿第二定律：a=F/m
　　联立上述各式有：a=（GMk/4π²）×（v²/r）
　　所以：a∝v²/r
——上述三方法自己总结
方法四：曲率圆法
——来自百度贴吧
方法五：类比法：
　　设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率v=△s/△t，显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率：v=2πR/T（1）
　　（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即
　　a=△v/△t
（2）
　　由图6可知，这个速度变化率其实就是速度矢量矢端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故联立（1）（2）两式就可得出结论：a=v²/r
　　方向的判断：比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.