Question

已知函数f(x)=b㏑x，g（x)=ax²-x²(a，b∈R）

Answer 1

①若曲线f(x)与g（x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，求实数a，b的值
说明斜率相等：
f'(x)=b/x
g'(x)=2ax+2x
k1=b/1=b
k2=2a+2
k1=k2
b=2a+2
将(1,0)代入g(x)=ax^2-x^2
0=a-1
a=1
b=2*1+2=4
②当b=1时，若曲线f（x)与g（x)在公共点P处有相同的切线，求证；点P唯一
f(x)=lnx
g(x)=ax^2-x^2
f'(x)=1/x
g'(x)=2ax-2x
切线相同，则：1/x=2ax-2x
2ax^2-2x^2=1
x^2=1/(2a-2)
所以此时：P点(x0,y0）
y0=ax0^2-x0^2=x0^2(a-1)=1/(2a-2)*(a-1)=1/2
纵坐标y0=1/2,
则y0=lnx0
x0=e^(1/2)
只有一个公共的P点，且为(e^(1/2),1/2)
③若a＞0，b=1，且曲线f(x)与g（x)总存在公切线，求证实数a的最小值
切点是(e^1/2,1/2),
则：
x0^2=1/(2a-2)
e=1/(2
a-2)
2a-2=1/e
a=(2+1/E）/2