Question

二次型矩阵，当求出矩阵特征值后，为什么还要特征向量正交变换呢？

二次型矩阵，当我求出特征值后（∧1，∧2，∧3），为什么还要进行特征向量正交呢？？ 原标准型不是f= ∧1（y1)^2+∧2（y2）^2+∧3（y3）^2 吗？？
为什么还要正交变换呢？？

Answer 1

1.求出特征值后,即知道了二次型的标准形.如果只是求其标准形,自然至此就完成任务了.
2. 但若继续问:要用怎样的线性变换,把所述二次型化为标准形,这时就要回到:
f(x1,x2,x3)=X'AX. (X'表示X的转置)
作变换:X=PY, 得g(y1,y2,y3)=(PY)'A(PY)=Y'P'APY=Y'(P'AP)Y.
使(P'AP)成为对角阵即可. (合同)
3.但是,我们求特征向量是按条件:P(逆)AP为对角阵. 即按相似来求的.
为了能够用2的分析,就想到,当P是正交阵时,P(逆)=P'
为此求出特征值之后,还要求特征向量,还要正交化,标准化,构成正交阵,才能得到正交线性变换:X=PY.
当然,如果只是要求用可逆线性变换将二次型化为标准形,(只含平方项的),问题比这个相对简单,相应的,保留的性质也比较少了.

Answer 2

主要是因为正交变换是保距变换，即保持变换前后向量到原点的距离不变，这样，就会保持图形不变，所以，当讨论二次型所刻画的图形问题时，我们要用正交变换

Answer 3

你大概是忽略了只有特征向量正交时，二次型矩阵才跟线性变换的矩阵一样。