求证实数³√3是无理数
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用反证法,
假设³√3是有理数,
设³√3
=
p/q,
其中p,
q为正整数,
且p,
q互质.
有3q³
=
p³.
由q³是整数,
有3
|
p³,
故3
|
p.
可设p
=
3r,
其中r是正整数.
代入得q³
=
9r³.
由r³是整数,
有3
|
q³,
故3
|
q.
于是p,
q有公因子3,
与p,
q互质矛盾.
因此³√3是无理数.
假设³√3是有理数,
设³√3
=
p/q,
其中p,
q为正整数,
且p,
q互质.
有3q³
=
p³.
由q³是整数,
有3
|
p³,
故3
|
p.
可设p
=
3r,
其中r是正整数.
代入得q³
=
9r³.
由r³是整数,
有3
|
q³,
故3
|
q.
于是p,
q有公因子3,
与p,
q互质矛盾.
因此³√3是无理数.
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