Question

数列an=1+1/√2 +1/√3+…+1/√n-2√n 证明an有极限

Answer 1

1
+
1/√2
+
1/√3
+
1/√4
+
…
+
1/√n
＝2/(2√1)
+
2/(2√2)
+
2/(2√3)
+
2/(2√4)
+
…
+
2/(2√n)
≤2/(√0+√1)
+
2/(√1+√2)
+
2/(√2+√3)
+
2/(√3+√4)
+
…
+
2/[√(n-1)+√n]
＝
2
(√1-√0)
+
2(√2-√1)
+
2
(√3-√2)
+
2
(√4-√3)
+
…
+
2
[√n-√(n-1)]
＝2√n
那么
1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n≤0
同理
1
+
1/√2
+
1/√3
+
1/√4
+
…
+
1/√n
＝2/(2√1)
+
2/(2√2)
+
2/(2√3)
+
2/(2√4)
+
…
+
2/(2√n)
≥2/(√2+√1)
+
2/(√3+√2)
+
2/(√4+√3)
+
2/(√5+√4)
+
…
+
2/[√(n+1)+√n]
＝
2
(√2-√1)
+
2(√3-√2)
+
2
(√4-√3)
+
2
(√5-√4)
+
…
+
2
[√n+1-√n]
＝2√（n+1）
-2
那么1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n≥2√（n+1）
-2
-
2√n
＞
-3
所以上限下限都存在，极限一定存在。