椭圆上一点p与两焦点恰好构成一个等边三角形,则该椭圆的离心率为多少
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点P与两焦点恰好构成一个等边三角形,则点P到两个焦点的距离相等,所以点P在焦点连线的中垂线上,则点P是短轴的焦点,设PF1=x,则PF2=x,F1F2=2c=x,所以c=x/2又PF1+PF2=2a=2x,所以a=x,则离心率e=c/a=1/2,
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解:P只能是短轴的端点
则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
所以
c/a=1/2
即该椭圆离心率为1/2
则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
所以
c/a=1/2
即该椭圆离心率为1/2
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由于△opf为等边三角形,设p(acost,bsint),则有
2acost=c
(1)
√3c/2=bsint
(2)
又a²-b²=c²
由前两式消去三角表达式得
c²/4a²+3c²/4b²=1,
联立该式和第三式,消去b,得
4a^4-8a^2c^2+c^4=0
两边除以a^4,得
e
^4-8e^2+4=0,解得e^2=4-2√3
从而e=√3-1
2acost=c
(1)
√3c/2=bsint
(2)
又a²-b²=c²
由前两式消去三角表达式得
c²/4a²+3c²/4b²=1,
联立该式和第三式,消去b,得
4a^4-8a^2c^2+c^4=0
两边除以a^4,得
e
^4-8e^2+4=0,解得e^2=4-2√3
从而e=√3-1
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