Question

椭圆上一点p与两焦点恰好构成一个等边三角形，则该椭圆的离心率为多少

Answer 1

点P与两焦点恰好构成一个等边三角形，则点P到两个焦点的距离相等，所以点P在焦点连线的中垂线上，则点P是短轴的焦点，设PF1=x，则PF2=x，F1F2=2c=x，所以c=x/2又PF1+PF2=2a=2x，所以a=x，则离心率e=c/a=1/2,
或：解：P只能是短轴的端点
则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
所以
c/a=1/2
即该椭圆离心率为1/2

Answer 2

点P与两焦点恰好构成一个等边三角形，则点P到两个焦点的距离相等，所以点P在焦点连线的中垂线上，则点P是短轴的焦点，设PF1=x，则PF2=x，F1F2=2c=x，所以c=x/2又PF1+PF2=2a=2x，所以a=x，则离心率e=c/a=1/2,

Answer 3

解：P只能是短轴的端点
则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
所以
c/a=1/2
即该椭圆离心率为1/2

Answer 4

由于△opf为等边三角形，设p（acost,bsint)，则有
2acost=c
(1)
√3c/2=bsint
(2)
又a²-b²=c²
由前两式消去三角表达式得
c²/4a²+3c²/4b²=1,
联立该式和第三式，消去b,得
4a^4-8a^2c^2+c^4=0
两边除以a^4,得
e
^4-8e^2+4=0,解得e^2=4-2√3
从而e=√3-1