Question

设a,b,c 属于正数，且a+b+c=1，求证：(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)大于等于8

Answer 1

简单计算一下，详情如图所示

Answer 2

由a+b+c=1得1-a=b+c,1-b=a+c,1-c=a+b,
(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)=（1-a)/a*(1-b)/b*(1-c)/c=(b+c)/a*(a+c)/b*(a+b)/c=(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc
因为a.b.c属于r+，所以b+c≥2√bc（当且仅当b=c时取等）,a+c≥2√ac（当且仅当a=c时取等）,
a+b≥2√ab（当且仅当a=b时取等）
则(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc≥8√bc*√ac*√ab／abc=8
即(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8

Answer 3

(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)=（1-a)(1-b)(1-c)/abc=（b+c)(c+a)(a+b)/abc
于是（b+c)(c+a)(a+b)/abc>=8
<=>
(b+c)(c+a)(a+b)>=8abc
<=>
∑a^2(b+c)+2abc>=8abc
<=>
∑a^2(b+c)-6abc>=0
<=>
∑[a(b^2+c^2)-2abc]>=0
<=>
∑a(b-c)^2>=0
所以原不等式成立！
（如果利用
均值不等式
也可以，就是（b+c)(c+a)(a+b)/abc，利用b+c>=2√bc)