Question

如图，二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴只有1个公共点P，

如图，二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴只有1个公共点P，与y轴交与Q，过Q的直线y=2x+m与x轴交于点A， 与这个二次函数的图像交于另一点B，若S▲BPQ=3S▲APQ，求这个二次函数的解析式。

Answer 1

与X轴只有一交点，则说明当x=-b/2时，y有最值-b²/4+c=0
点Q坐标为(0,c) c=b²/4
直线y=2x+m过点Q（0，c) 所以直线可写为y=2x+c
解方程组 y=2x+c ①
y=x²+bx+c ② 可得点B坐标(2-b,b²/4+4-2b)
因为S△BPQ=3S△APQ，即S△APB=4S△APQ，
所以B的纵坐标是Q的纵坐标的4倍，即
b²/4+4-2b=b² 解之得b=-4或4/3
因此二次函数为y=x²-4x+4或y=x²+4x/3+4/9
_---HWL，你大哥

Answer 2

二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴只有1个公共点P------b^2-4c=0
因为-b/2>0,所以b=-2*根号c,y=x^2-2*根号cx+c
点Q坐标为(0,c),代入直线y=2x+m得m=c,即y=2x+c
所以点A（-c/2,0）
S▲BPQ=3S▲APQ-------S▲BPA=4S▲APQ-----点B的纵坐标为4c
代入直线y=2x+c得：点B（3c/2,4c）,代入y=x^2-2*根号cx+c得c=16/9, b=-2*4/3=-8/3
故原式为y=x^2-8/3*x+16/9

Answer 3

过B作BC交x轴于C。
因为S▲BPQ=3S▲APQ，所以BQ＝3AQ。所以PO=3AO,BP=4QO。
设A的坐标为（-a，0），因为点A在直线y=2x+m上，所以
0＝-2a+m
m＝2a
直线方程可表述为：y＝2x+2a
当x＝0时，y＝2a
即点Q的坐标为（0，2a）
则B点的坐标为（3a，8a）（PO=3AO,BP=4QO）
把Q、B的坐标带入二次函数方程得到2个方程：
① 0＝4a^2+2ab+c
② 8a＝9a^2+2ab+c
同时，因为函数顶点在x轴上，即顶点的纵坐标为0，得到方程：
③（4c-b^2)/4=0
联立上述3个方程，可解得：a＝8；b=-32；c=256
即函数方程为：y＝x^2-32x+256

Answer 4

把AQ和QB当底
高相等
则3AQ=QB
令y=0
x1=[-b-√(b^2-4ac)]/2=-b/2
A(x1,0)
令x=0
y=c
Q(0,c)
k=c/(0-x1)=2c/[b+√(b^2-4ac)]=2
c=b
y=2cx/[b+√(b^2-4ac)]+c=x^2+bx+c
所以2cx+bc+c√(b^2-4ac)=x^2b+x^2√(b^2-4ac)+bx√(b^2-4ac)+c√(b^2-4ac)
因为b^2-4ac=0
所以x^2b=2cx+bc
bx^2-2cx+bc=0
解得x(B)=[c+√(c^2-b^2c)]/b=c/b
[c+√(c^2-b^2c)]/b=3(-b)/2
2[c+√(c^2-c^3)]=3b(-b)
2c+2c√(1-c)+3c^2=0
3c^2+2c[1+√(1-c)]=0
3c+2+2√(1-c)=0
9c^2+4+12c=4(1-c)
9c^2+12c=-4c
9c^2+16c=0
9c+16=0
c=-16/9=b
解析式为y=x^2-16x/9-16/9