Question

已知函f（x）=ax2-ex（a∈R）．（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并...

已知函f（x）=ax2-ex（a∈R）． （Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）． （i） 求实数a的取值范围； （ii）证明：-e2＜f(x1)＜-1． （注：e是自然对数的底数）

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-ex，f（x）在R上单调递减．
事实上，要证f′（x）=x2-ex在R上为减函数，只要证明f′（x）≤0对∀x∈R恒成立即可，
设g（x）=f′（x）=2x-ex，则g′（x）=2-ex，
当x=ln2时，g′（x）=0，
当x∈（-∞，ln2）时，g′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0．
∴函数g（x）在（-∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．
∴f′（x）max=g（x）max=g（ln2）=2ln2-2＜0，故f′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上单调递减；
（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2-ex，所以，f′（x）=2ax-ex．
若f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，
故方程2ax-ex=0有两个根x1，x2，
又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=
ex
x
有两个根，
设h(x)=
ex
x
，得h′(x)=
ex(x-1)
x2
．
若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．
若x＞0时，h（x）＞0．
当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．
要使方程2a=
ex
x
有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞
e
2
且0＜x1＜1＜x2．
故a的取值范围为(
e
2
，+∞)．
（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1-ex1=0，故a=
ex1
2x1
，x1∈（0，1）
f(x1)=ax12-ex1=
ex1
2x1
•x12-ex1=ex1(
x1
2
-1)，x1∈（0，1）
设s（t）=et(
t
2
-1)（0＜t＜1），则s′(t)=et(
t-1
2
)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减
故s（1）＜s（t）＜s（0），即-
e
2
＜f(x1)＜-1．