Question

奥数题！急！急！急！

比较二分之一+四分之二+八分之三+十六分之四+……+二的二千次方分之二千与二的大小。

Answer 1

令m=1/2+2/4+3/8+4/16+。。。+2000/2^2000
乘2，得：
2m=1+2/2+3/4+4/8+...+2000/2^1999
相减，得：
m=1+(2/2-1/2)+(3/4-2/4)+...+(2000/2^1999-1999/2^1999)-2000/2^2000
=1+1/2+1/4+...+1/2^1999-2000/2^2000…………（1）
再乘2，得：
2m=2+1+1/2+1/4+...+1/2^1998-2000/2^1999
再与（1）相减，得：
m=2+(1-1)+(1/2-1/2)+...+(1/2^1998-1/2^1998)-1/2^1999-2000/2^1999+2000/2^2000
=2-(1+2000)/2^1999+2000/2^2000
=2-2001/2^1999+2000/2^2000
=2-4002/2^2000+2000/2^2000
=2-(4002-2000)/2^2000
=2-2002/2^2000＜2