Question

lim(x+sinx)/x的极限问题？答的好追加！

1.如题，正解中说lim(x+sinx)/x（x->无穷）的1+cosx不存在，也就是说不能用洛必达法则，但是洛必达法则不说说最后的值可以是一个数也可以是无穷吗（也就是不存在）啊！ 2.lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)当x趋向0，这个题用洛必达法则行不行？我用了在分子出出现了一个sin1/x结果就是3+无穷/2 可是正解是3/2 我就是不明白洛必达怎么用，请详细告诉我！

Answer 1

楼主的对这部分的想法混淆得太厉害，真是剪不断，理还乱。。。
我也不是老师也不知道给你从何说起，就一个问题一个问题的来吧。
第一题：
lim(x+sinx)/x（x→∞）
=lim(1+
sinx/x）
=1+lim
sinx/x
=1+0=1
lim
sinx/x（x→∞）=
0
这个是因为
分子
sinx有界
分母趋近∞。
本题为什么不能用洛必达
分子分母同时求导后得到
1+cosx
（x→∞）
-1≤cosx≤1
0≤1+cosx≤2
这个是不存在了
但是不是无穷
因为它大于0小于2.
也就是说最后的1+cosx
即不收敛于一个数，也不是无穷
所以洛氏法则失效。
楼主的“洛必达法则不是说最后的值可以是一个数也可以是无穷吗”这句话是对的。
但是加上后面的括号（也就是不存在）就不对了。
无穷和不存在是不等价的。
第二题：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
（x→0）
直接洛氏法则也行不通。
我用了在分子出出现了一个sin（1/x）
那结果就是
[3-sin（1/x）]/2
楼主得到3+无穷/2
应该是以为：sin（1/x）为无穷吧。呵呵，不是的。
-1≤sin(这个里面不管是什么)≤1
那么同样
[3-sin（1/x）]/2
即不收敛于一个数，也不是无穷。洛氏法则失效。
那么这个题真么做呢？
和上面一样
分成两个极限求：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
（x→0）
=lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)+
lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
（x→0）
=3/2
+
lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=3/2
+
0
=3/2
lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)=3/2
这个极限你可以直接用
洛氏法则。其实用等价无穷系代换非常简单。
后面一个极限：
lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=lim
(xcos1/x)/(1+cosx)-------利用了等价无穷小代换：
x代换ln(1+x)
=(0*cos1/x)/2
=0
楼主
主要混淆的地方
在于
无穷和不存在的区分。
这一个小问题影响了楼主对高数很多问题的混淆。