Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=-√3acos...

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=-√3acosB． （1）确定角B的大小； （2）若∠ABC的角平分线BD交线段AC于D，且BD=1，设BC=x，BA=y． （ⅰ）试确定x与y的关系式；（ⅱ）记△BCD和△ABD的面积分别为S1、S2，问当x取何值时，1S12 +1S22 的值最小，最小值是多少？

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，根据正弦定理得asinA=bsinB，
∴bsinA=asinB．
又∵由已知得bsinA=-√3acosB，
∴sinB=-√3cosB，可得tanB=-√3，
∵在△ABC中，0＜B＜π，∴B=2π3；
（2）（ⅰ）∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=π3．
∵S△ABC=S△BCD+S△ABD，BD=1、BC=x且BA=y．
∴12xy•sin2π3=12x•sinπ3+12xy•sinπ3，
即12xy•√32=12x•√32+12y•√32，化简得xy=x+y，即为所求x与y的关系式；
（ⅱ）由（i）可得：在△BCD中，S1=12×1×x×√32=√34x，
∴S12=316x2，可得1S12 =163x2．同理可得1S22 =163y2．
∴1S12 +1S22 =163×(1x2+1y2）
=163×x2+y2(xy)2=163×(x+y)2-2xy(xy)2=163×(xy)2-2xy(xy)2=163(1-2xy)．
又∵x＞0，y＞0．∴xy=x+y≥2√xy当且仅当x=y时等号成立．
由此可得√xy≥2即xy≥4．
∴1xy≤14，可得-2xy≥-12，整理得1-2xy≥12．
因此，1S12 +1S22 =163×(1-2xy)≥163×12=83
又∵当x=y时，△ABC为等腰三角形，∴此时∠A=∠C=π6
∴在△BCD中，∠BDC=π2，∠C=π6，∴BC=2BD=2，可得x=2
综上所述，当x=2时，1S12 +1S22 的值最小为83．