Question

y=ax²-2ax-3a的对称轴

抛物线y=ax方-2ax-3a与x轴交于A、B两点,与y轴负方向交于C点,且tan∠ACO=1/3
（1）试求出抛物线的解析式（2）E为直线y=1上一动点,F为抛物线对称轴上一点,当F点在对称轴上何处时,四边形ACFE的周长最短,并求出此时四边形的周长（3）D（1,0）为x轴上一点,抛物线上是否存在点P,且点P在x轴上方,使得线段AP与直线CD的夹角为45°,若存在这样的P点,请求出P点坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）∵y=ax?-2ax-3a=a(x?-2x-3)=a(x+1)(x-3) ∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a) ∵C在y轴负方向∴a>0 ∴tan∠ACO=1/(3a)=1/3 ∴a=1 ∴ 抛物线的解析式为y=x?-2x-3(2)设A'于A关于直线y=1对称,C'与C关于直线x=1(抛物线的对称轴）对称则A'(-1,2),C'(2,-3)∴四边形ACFE的周长为AC+AF+FE+EC=AC+(A'F+FE+EC')≥AC+A'C' =...= √10+√34 (当且仅当F、E在线段A'C'上取等号）直线A'C'方程：y+3=5/(-3)×(x-2),令x=1,则y=-4/3 ∴F(1,-4/3)∴...(3)如图∵D(1,0）∴tan∠ADC=3∴kCD=3设存在点P,且点P在x轴上方,使得线段AP与直线CD的夹角为45°设过A的直线L的斜率为k,则由图可知k