Question

二阶线性非齐次微分方程通解

Answer 1

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x),其特解y*设法分为:
1.如果f(x)=P(x),Pn(x)为n阶多项式;
2.如果f(x)=P(x)e^αx,Pn(x)为n阶多项式。
二阶线性微分方程其实可以通过凑微分降阶法求解，但过程略微复杂，不过相应的过程却能充分体现分离变量法。
值得一提的是，一阶线性微分方程所谓常数变易法可以用积分因子法替代，即对下面的方程
x'_t+p(t)x=q(t)
两边同乘一个 \text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}，得到一个乘法导数的形式，即
x'_t\text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}+p(t)\text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}x=q(t)\text{e}^{\int{p(t)dt}}
把x\text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}当作一个变量，就可实现分离变量。