Question

已知数列{an}，Sn是前n项的和，且满足a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=...

已知数列{an}，Sn是前n项的和，且满足a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，设bn=an+n． （1）求a2； （2）求证：数列{bn}是等比数列； （3）求limn→∞（1b1+1b3+…+1b2n-1）的值．

Answer 1

解：（1）∵a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，
令n=1，可得
2+a2=3×2+1+2，求得a2=7．
（2）证明：∵Sn+1=3Sn+n2+2，∴Sn=3Sn-1+（n-1）2+2，
∴两式相见可得an+1=3an+2n-1，即an+1+（n+1）=3an+2n-1+（n+1）=3（an+n）
①．
又bn=an+n，∴由①可得
bn+1=3（an+1+n）=3bn，∴数列{bn}是公比为3的等比数列．
（3）由于b1=a1+1=3，故bn=3×3n-1=3n，
∴1b1+1b3+…+1b2n-1=13+133+135+…+132n-1=13[1-(19)n]1-19=38-38×(19)n，
∴limn→∞（1b1+1b3+…+1b2n-1）=limn→∞ （38-38×(19)n ）=38．