Question

问一道关于三角函数周期的问题！

定义在R上的函数f(x)即使偶函数又是周期函数，且f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π/2]时，f(x)=sinx ，求f(x)=1/2的解集。

Answer 1

定义在R上的函数f(x)即使偶函数又是周期函数，且f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π/2]时，f(x)=sinx ，求f(x)=1/2的解集
解析：首先画出正弦函数图像草图
∵当x∈[0，π/2]时，函数f(x)=sinx
即其图像为正弦图像的第一个1/4周期，单调增
∵在R上的函数f(x)为偶函数，∴关于Y轴左右对称
则x∈[-π/2,0]时，其图像与正弦图像的第二个1/4周期图像一样，单调减
即f(x)=-sinx
又∵f(x)是周期函数，最小正周期是π
∴在R上的函数f(x)图像为：
将正弦函数图像负半周图像翻到X轴上方，即在定义域内f(x)>=0
∵f(x)=1/2
∴其解集为x=kπ+π/6, x=kπ+5π/6 （k∈Z）

Answer 2

∵当x∈[0，π/2]时，函数f(x)=sinx
即其图像为正弦图像的第一个1/4周期，单调增
∵在R上的函数f(x)为偶函数，∴关于Y轴左右对称
则x∈[-π/2,0]时，其图像与正弦图像的第二个1/4周期图像一样，单调减
即f(x)=-sinx
又∵f(x)是周期函数，最小正周期是π
∴在R上的函数f(x)图像为：
将正弦函数图像负半周图像翻到X轴上方，即在定义域内f(x)>=0
∵f(x)=1/2
∴其解集为x=kπ+π/6, x=kπ+5π/6 （k∈Z）

Answer 3

∵当x∈[0，π/2]时，f(x)=sinx ，
当x∈[-π/2,0)时，-x∈[0，π/2],
∴f(-x)=sin(-x)， f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)
∴x∈[-π/2,0)时，f(x)= - sinx
∵f(x)=1/2，∴当x∈[-π/2,π/2]时，x= - π/6 或 x= π/6
∵f(x)的最小正周期是 π，∴x= - π/6+πk 或 x= π/6+ πk （k∈z）