Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosA=3/5

1 求cos^2〔（b＋C）/2〕＋sin2A的值 2 若a＝3,b+c=5,求ABC的面积

Answer 1

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosA=3/5.
1.求cos²[(B＋C)/2]＋sin2A的值.
2.若a＝3,b+c=5,求ABC的面积.
1.
A+B+C=π，所以[(B＋C)/2]=π/2-A/2,
cos²[(B＋C)/2]=cos²(π/2-A/2)=sin²(A/2)=(1-cosA)²/4=(1-3/5)²/4=1/25,
sin2A=2sinAcosA=(6/5)sinA=(6/5)√(1-cos²A)=(6/5)√(1-(3/5)²)=24/25,
所以cos²[(B＋C)/2]＋sin2A=1,
2.
根据余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，即
9=b²+c²-(6/5)bc
①
已知b+c=5,两边平方得：25=b²+c²+2bc
②
②-①得：16=(16/5)bc，所以bc=5，
所以S△ABC=(1/2)bcsinA=(5/2)√(1-cos²A)=(5/2)√(1-(3/5)²)=2.