Question

设函数f(x)=(a-2^x)/(1+2^x),求函数的定义域及值域,证明它的单调性并写出单调区间

Answer 1

定义域：1+2^x不等于0(对任意实数均成立)
所以定义域为{x/x∈R}
值域：f(x)=(a+1-1-2^x)/(1+2^x)
=(a+1)/(1+2^x) -(1+2^x)/(1+2^x)
=(a+1)/(1+2^x) -1
当a>=-1即a+1>=0, 0=<(a+1)/(1+2^x)<a+1,则-1=<f(x)<a,值域[-1,a)
当a<-1时，a+1<(a+1)/(1+2^x)<0,则a<f(x)<-1,值域[a,-1)
单调性：令x1>x2,则2^x1>2^x2>0,(1+2^x1)>(1+2^x2)>1 , 2^x2-2^x1<0
f(x1)-f(x2)=(a+1)/(1+2^x1) -(a+1)/(1+2^x2)
=(a+1)/[(1+2^x1)(1+2^x2)] *(2^x2-2^x1)
所以当a>=-1即a+1>=0, f(x1)-f(x2)<0,即函数是单调递减，单调区间（-∞，+∞）
当a<-1时，f(x1)-f(x2)>0,即函数是单调递增，单调区间（-∞，+∞）